集積点のよもやま話３
アルキメデスの公理
任意の正の実数a、bに対して、
となる自然数nが存在する。
定理（有理数の稠密性）
zを１つの実数とすると、任意の正数εに対して、
となる有理数aが存在する。
【証明】
アルキメデスの公理より、任意の正数εに対して、
すなわち、
となる自然数nが存在するので、
を示せば十分。
z≧０とする。
とすると、自然数全体の集合Nは上に有界でないから、A≠∅。
また、Aは自然数全体の集合Nの部分集合だから最小の自然数k∈Aが存在する。
よって、
故に、
よって、
z<0のとき、−z>0とし、上の結果を用いればよい。
（証明終）
この定理は、実数のすぐ近くには有理数が（無数に）存在していることを表しており、この性質を有理数の稠密性という。
と、準備を終えたところで、次の問題の答。
問題 Aを0以上１以下の有理数の集合、すなわち、
とするとき、Aは閉集合かそうでないか、答えよ。
ここで、Qは有理数全体の集まり。
全体集合Xを実数全体の集まりRとし、AをXの部分集合とする。
で、1/√2は無理数だから実数なので、上の定理から、
任意の正数εに対して
である有理数a∈Aが存在する。（a=1/√2でないから、
というわけで、1/√2は集合Aの集積点である。
Aの集積点のすべてをAは含まないので、Aは閉集合でないということになるのであった。
また、Aの集積点の集合、すなわち、Aの導集合
である。
一般に、有理数全体の集合をQとすると、
という関係が成立する。