集積点についてのよもやま話
集積点 点aが集合Aの集積点（accumulation point）であるとは、aの任意の近傍の中にaと異なるAの点が少なくとも１つ存在することである。
このことは、次のように言い換えられる。
任意の正数ε>0に対して、
となるx∈Aが存在する。
定理 Aが閉集合である⇔Aの集積点はすべてAに含まれる。
昨日、
の集積点を求めよという問題を出したけれど、この問題を出したのは、上の定理に関わる内容だから。
たとえば、
という１点集合Aがあるとすると、これは閉集合である。
【証明】
1が{1}の触点であることは明らか。
x≠1とし、これがAの触点であるとすると、任意のε>0に対して、
でなければならない。
εは任意の正数なので、
とすると、
となり矛盾。
よって、一点集合A={1}の触点は1のみなので、Aは閉集合である。
（証明終）
ここで、
であり、B(x;ε)はxの（イプシロン）近傍のこと。
あるいは、
【証明】
実数全体の集合Rに対するA={1}の補集合
は、開集合{x∈R|x<1}と開集合{x∈R|x>1}の和（集合）だから開集合。
よって、A={1}は閉集合である。
（証明終）
さてさて、A={1}の集積点は存在しますか。
任意の正数ε>0に対して、
となるx∈{1}は存在しますか？
存在しないとすれば、冒頭に示した定理が揺らぐにゃ。
だって、{1}の集積点は存在しないのだから、{1}の集積点のすべてが{1}に含まれたりしないケロよ。
もちろん、{1)の集積点の集まりは空集合∅だから、
となるので、 「Aの集積点はすべてAに含まれる」が成立すると言えなくもないが、誤解を招く表現であり、読者に要らぬ混乱を招くので、こういう書き方は避けるべきだと思うにゃ。
ところで、
を集合と考えると、この集積点は０のみということになるが、Bを集合ではなく数列、点列と考えると、すこし事情が変わってくる。
定義１ （数列の集積点）
数列
は1に収束するので、1はこの数列の集積点ということになる。
数列の場合、
と書き、普通、
とは書かないという文句が聞こえそうですが、このように書き表す流儀もあるんだにゃ。
たとえば、以下の英語のサイトを参照。
https://solitaryroad.com/c450.html
つまり、
問題 次の集積点を求めよ。
の答は、
これを集合（というか通常の位相）として考えれば、0であり、
数列（の集積点）と考えれば、０と１が答ということになる。
じゃぁ、数列
の集積点はどうなりますか。
なお、この集積点は定義１の意味だにゃ。