ピストンとクランク機構
【解答】
∠POQ＝θ、OQ＝xｃｍとすると、余弦定理から
この両辺を時刻tで微分すると、
OPは毎秒２回転、すなわち、４π（rad）回転するので、
これを②式に代入すると、
θ=３０°=π/6(rad)のとき、xは①より、
これを解くと、
x>0だから、
③式に、x=25（√3+3√7）、θ=π/6を代入すると、
（解答終）
大学の数学の入試問題にこんな問題が出るとは思えないが、計算力のないネムネコが試験会場でこの問題を解こうとしたら、③以降のどこかで絶対、計算間違いをする自信がある。
なのですが、ピストン・クランク機構は、実用的に重要なので、（工業）力学などで理論化されている。
原点Oを中心とし半径rの円周上を、点Pが反時計回りに角速度ωで回転しているとする。そして、点Pと点Qの距離はLで、点Qはx軸上を移動し、時刻tにおいて∠QOP=θ、∠PQO=Φとする。
また、OQ=xとすると、幾何学的な関係から
となる。
PHは
となるので、
これを（１）に代入すると、
ここで、物理らしく
と近似すると、（２）式は
ここで、三角関数の倍角公式
を用いると、
となる。
ここで、さらにθ=ωtとすると、
が得られる。
これをtで微分すると、
さらに、tで微分すると、
という公式（？）が得られる。
ここで、vは点Qの速度、αは点Qの加速度である。
ただし、（４）、（５）は、厳密なものではなく、近似式であることに注意。
この（４）式を使って、問題の速度を求めてみよう。
OPは毎秒４回転するので、角速度ω=4（ｍ/秒）である。また、θ=ωt=π/6（rad)であり、r=50cm、L=2000cmなので、
対して、問題の答は
となり、大体、0.1％位の誤差で計算できており、十分に実用に足りることがわかる。