確率・統計の追加問題


 


問題１　つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から無作為に１球ずつ取り出し、赤球が出たら止めるものとする。ただし、取り出した球はつぼに戻さない。このとき、次の問に答えよ。


（１）　取り出される白球の数xの確率分布を求めよ。


（２）　xの平均（期待値）を求めよ。


（３）　xの標準偏差を求めよ。


【解答】


（１）　xの取りうる値は0、1、2、3、4のいずれかで、x=rとなるのは、r回続けて白球が出て、r+1回目に赤球が出る場合である。その確率をとすると、


　　


したがって、確率分布は


 






x




0




1




2




3




4






p




3/7




2/7




6/35




3/35




1/35






 


（２）　xの平均をmとすると


　　


 


（３）　xの標準偏差をσとすると、


　　


（解答終）


 


 


問題２　つぼの中に４個の白球と３個の赤球が入っている。このつぼの中から同時に３個を取り出すとき、それに含まれる白球の個数をxとする。このとき、次の問に答えよ。


（１）　xの確率分布を求めよ。


（２）　xの平均mと標準偏差σを求めよ。


【解答】


（１）　白球がx=r個とり出される確率をで表すと


　　


となるので、


　　


したがって、確率分布は


 






x




0




1




2




3






p




1/35




12/35




18/35




4/35






 


（２）


　　


（解答終）


 


 


問題３　表裏の出る確率が同様に確からしい硬貨を３枚同時に投げる試行を繰り返す。各回において表の出る回数をxとする。このとき、次の問に答えよ。


（１）　xの確率分布を求めよ。


（２）　xの平均と標準偏差を求めよ。


【解答】


（１）　表がx=r枚出る確率をで表すと、独立試行の確率より


　　


したがって、確率分布は次のようになる。


 






x




0




1




2




3






P




1/8




3/8




3/8




1/8






 


（２）　xの平均をm、標準偏差をσとすると、


　　


（解答終）


 




１回の試行で事象Aの怒る確率がpのとき、n回の独立試行中Aがr回起こる確率は


　　


n回の独立試行で、Aの起こる回数をxとすると、xは0,1,2,・・・,nというn+1個の値をとる確率変数で、その確率分布は次のようになる。


 


　　


また、平均（期待値）m、標準偏差は


　　


１枚の硬貨を３回投げる試行で表が出た回数をxとして考え、この公式を用いると、（２）の平均、標準偏差は次のように求めることができる。