一様連続とリプシッツ連続の問題
任意の正数εに対して、ある正数δが存在して、次の関係が成立するとき、関数f(x)は一様連続という。
より厳密に書けば、例えば、次のようになるだろう。
f(x)を区間Iで定義された関数とする。
任意の正数εに対して、ある正数δが存在し、任意のx₁,x₂∈Iに関して、
が成り立つとき、f(x)は一様連続であるという。
論理記号で書くと、
が成立するとき、f(x)は一様連続であるという。
たとえば、
とすると、
となるので、
したがって、任意のε>0に対して、
とδを定めれば、
が成立するので、f(x)=sin xは一様連続である。
もちろん、
平均値の定理より、x₁≠x₂とすると、
となるcがx₁とx₂の間に存在するので、
したがって、任意の正数εに対して、
とδを定めると、x₁=x₂の場合も含めて、
としてもよい。
問１ 次の関数f(x)がI=[0,1]で一様連続であることを示せ。
【解】
任意の正数ε>0に対して、
と定めると、任意のx₁、x₂∈[0,1]に関して、
したがって、f(x)は一様連続である。
（解答終）
問２ 平均値の定理を用いて、
が一様連続であることを示せ。
どうしてもできないヒトは、次の定理を使ってもよいが・・・。
定理１ 有界閉区間Iで定義される関数f(x)がIで連続であれば、f(x)はIで一様連続である。
問３ Rを実数全体の集合とするとき、
は一様連続でないことを示せ。
（ヒント）
f(x)が区間Iで一様連続であるとは、
したがって、f(x)が一様連続でないとは、これを否定した
になる。
そこで、
nを自然数とし、δ=1/n、さらに、
とすると、
となり、
nをどんなに大きくとり、δを限りなく0に近づけても、x₁とx₂を
にとれば、
ヒントではなく、答を書いたようなものであるが・・・。
区間Iで定義される関数f(x)が、任意のx₁、x₂∈Iに対して、
であるK≧0である実定数Kが存在するとき、f(x)はIでリプシッツ連続であるという。
定理２ f(x)がリプシッツ連続であれば、f(x)は一様連続である。
【略証】
K=0のとき、任意のx₁、x₂に対して、
になるので、一様連続。
K>0のとき、任意の正数εに対して、
にδを定めると、
（略証終）
問４ [0,1]で定義される関数f(x)=x²が[0,1]でリプシッツ連続であることを示せ。
問５ f(x)を区間Iで微分可能な関数とする。任意のx∈Iに対して、
ならば、任意のx、y∈Iに対して
が成り立つ。逆も成り立つことを示せ。
ここまではサービス問題だケロ。
さぁ、お前らに次の問題を解いてもらおうじゃないか。
問題 関数
について、次の問に答えよ。
（１） f(x)が[0,1]で一様連続であることを一様連続の定義に従って示せ。
（２） f(x)は[0,1]でリプシッツ連続でないことを示せ。
言っておくが、（１）の解答で定理１を使った奴はぶっ殺す。
タコ殴りしたあと、簀巻きにして、川に流してやるケロ！！
念の為に言っておくけれど、
で、f'(x)は上に有界じゃないから、平均値の定理は使えない！！
aを0<a<1である任意の実数とし、[a,1]とすれば、たとえ、f'(x)がどんなに大きな値であろうと、所詮、有限の値だから、平均値の定理を使うことができて、f(x)は[a,1]でリプシッツ連続であり、したがって、一様連続であることを示すことができるが・・・。
さらに、[a,1]ではなく、(a,1]としたら、f(x)はリプシッツ連続か？