が収束することを示す問題


 


問題１　x>0のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。


　　


ただし、nは、n>1の自然数である。


 


微分を使うならば、次のように解くのが一般的だろう。


 


【解答１】


　　


とし、この関数の増減を調べるために微分すると


　　


したがって、増減表は次のようになる。


 



 


よって、


　　


ゆえに、


　　


である。


（解答終）


 


微分を使いたくなければ、


　　


に注目し、次のように解くことができる。


 


【解答２】


　　


0<x<1のとき、


　　


よって、


　　


x=1のとき、0=0で等号成立。


1<xのとき、


　　


よって、


　　


以上のことをまとめると、


　　


（解答終）


 


 


問題２


（１）　前問の不等式を用いて、が単調増加列、が単調減少列であることを示せ。


（２）　であることを示せ。


【解】


（１）　nをn>1の自然数、x>0とすると、


　　


である。


を代入すると、


　　


したがって、


　　


よって、は単調増加列である。


を代入すると、


　　


よって、


　　


したがって、は単調減少列である。


 


（２）　と、は上に有界な単調増加列だから収束する。


また、


　　　　


だから、


　　


よって、


　　


である。


（解答終）


 


が収束することを示しているので、


　　


としてもよいのでしょう。


 


よくまぁ、問題２の（１）のような、うまい方法を思いつくもんだと、ただただ感心するばかり。


この問題が出ていた本には、と置けと書いてあるだけで、あとは何も書いていないんだけれど・・・。