どうでもいい話


 


ddt³さんから突っ込みが来たので、どうでもいい話でもしますか。


 


直線y=xで折り返すと、xy平面上の点(x,y)は(y,x)に移されるよね。


この１次変換を表す行列Tは


　　


だにゃ。点(x,y)がTによって移される点を(x',y')で表すことにすると、


　　


になるにゃ。


さてさて、基本ベクトルをとすると、（本当は、これをe₁、e₂と太字の斜体字で表したいんだけれど・・・）


　　


とし、Tによって基本ベクトルが移されたものをとすると、


　　


となりまして、をこの順番で新しい座標系の基底ベクトルに選ぶと、座標系が右手系から左手系に変わってしまうんだケロ。


 


直線y=xだと、基底ベクトルが重なってわかりにくいので、原点を通る直線で折り返すことにすにゃ。


すると、


　　


となるケロ。


で、Tによってが移されるベクトルをで表すと、


　　


になる。


ちなみに、この２つのベクトルは、この内積を計算すると、


　　


となるので直交しているし、ベクトルの大きさはともに１だにゃ。


つまり、をもとに新たな直交座標系O-uvというものを構成することができる。


なのですが、この新しい座標系O-uvは通常の座標系O-xyとは異なり、左手系の座標系（これは、例えるならば、鏡の中の世界だね〜）になってしまう。（下図参照）


 


 



 


 


鏡といえば、鏡の国のアリス。そして、アリスといえば、これだケロ！！


 



 



 


 


話を元に戻そう。


ではあるのですが、の順番であらたな直交座標系O-vuを作れば、これは右手系の座標系になる。上の図を見ればこのことはすぐにわかるだろう。


そこで、


　　


という１次変換Sを設けると、これは


　　


という変換だから、


　　


ここで、θ=φ−π/2 とすると、


　　


となるので、


　　


となり、この変換は原点まわりの回転ということになるにゃ。


 


どうでもいい話でした。


 






しかし、ここで終わってはつまらない。


 


O-xy座標系からO-uv座標系への座標変換の式を求めてみよう。


点PのO-xy座標系での座標を(x,y)、O-uv座標系での座標を<u,v>としよう。


すると、


　　


となる。


　　


だから、これを代入すると、


　　


したがって、


　　


行列で書くと、


　　


したがって、


　　


この（１）と（２）が、それぞれ、O-uv座標系からO-xy座標系、そして、O-xy座標系からO-uv座標系への変換式ってわけ。


（１）、（２）式ともに


　　　　


になるんだケロ。


 


たぶん、間違えていないと思うが(^^ゞ


 


ここに書いているのは、直交座標系間の座標変換に基本中の基本だから、このやり方は知っておいたほうがいいケロよ〜。