数列の収束の復習２

数列の収束の復習２

 

であるとき、数列は単調増加数列という。

であるとき、数列は単調減少数列という。

集合が上に有界なとき、数列は上に有界であるといい、集合が下に有界なとき、数列は下に有界であるという。

 

定理６　（単調数列の収束）

数列が単調増加かつ上に有界（単調減少かつ下に有界）ならばは収束する。

【証明】

上に有界な単調増加数列の場合について証明する。

数列は上に有界なので上限αをもつ（実数の連続性）。

上限の定義より、

（１）　すべての自然数nについて、

（２）　任意の正数εに対して、

　　

となるが存在する。

したがって、n>mであるすべてのnについて、

　　

よって、上に有界な単調増加数列は収束する。

（証明終）

 

定理７　（カントールの区間縮小法の原理）

閉区間がを満たすならば、

　　

である。

さらに、ならば、共通部分

　　

とただ１点からなり、である。

【証明】

条件より、

　　

である。

よって、数列は上に有界な単調増加数列、数列は下に有界な単調減少数列となり、定理６より収束する。

　　

とおくと、より、α≦βである。

また、なので、

　　

である。

したがって、

　　

である。

また、より、α=β。

とすると、すべての自然数nに対して

　　

となるので、c=α。

よって、

　　

（証明終）

 

φをNからNへの狭義単調増加関数（n₁<n₂ならばφ(n₁)<φ(n₂)とする。数列が与えられたとき、数列を数列の部分列という。

 

定理８　（部分列の収束）

収束する数列の部分列はの極限値に収束する。

すなわち、

　　

【証明】

数列の極限値をαとすると、任意の正数εに対して、ある自然数mがあって、

　　

である。

φ(n)≧nなので、

　　

よって、収束する数列の部分列はの極限値に収束する。

（証明終）

 

定理９　（Boltano-Weiestrassの定理）

有界な数列は、収束する部分列をもつ。

 

 

コーシー列

 

数列が任意の正数εに対して、ある自然数pが存在し、n>p、m>pを満たす任意の自然数m、nに対して

　　

が成り立つとき、はコーシー列であるという。

 

定理１０　（コーシー列の有界性）

コーシー列は有界である。

【証明】

数列はコーシー列であるとする。ε=1とすれば、ある自然数pが存在し、

　　

となる。

m=p+1とすると、

　　

となるから、

　　

そこで、

　　

とおけば、任意の自然数nに対して、

　　

よって、数列は有界である。

（証明終）

 

定理１１　（コーシーの収束条件）

数列が収束するための必要十分条件は、コーシー列であることである。

 

 

関数の極限値と数列の極限

 

定理１２

という極限値が存在することの必要十分条件は、となる任意の数列に対してとなることである。

 

定理１３

関数fが点aで連続であることの必要十分条件は、aに収束する任意の数列に対してとなることである。

【証明】

fは点aに対して連続なので、任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、

　　

をみたす。

また、数列はaに収束するので、δ>0に対して、ある自然数mが存在して、

　　

よって、

　　

である。

次に、逆を示す。

対偶法を用いるために、（１）を否定すると、

　　

となるxが存在する。

ここで、

　　

とし、n=1,2,・・・に応じて

　　

をみたす点xをとり、それをとし、数列をつくる。

すると、任意のnについて

　　

となり、であるが、を満たさない。

よって、証明された。

（証明終）