多変数関数の極値の復習
極大値、極小値の定義
関数f(x,y)に対して、あるδ>0があって
が成り立つときf(x,y)は点(a,b)で極大であるといい、f(a,b)を極大値という。
また、
が成り立つとき、f(x,y)は点(a,b)で極小といいf(a,b)を極小値という。
さらに、極大値と極小値をあわせて極値という。
例１ f(x,y)=x²+y²は、(0,0)で極小で、極小値は0。また、g(x,y)=−x²−y²は、(0,0)で極大、極大値は0。
定理１ f(x,y)は点(a,b)で極値をとり、(a,b)で偏微分可能であるとき、
が成り立つ。
例２ f(x,y)=x²+y²とすると
である。極値をとる点の座標を(a,b)とすると、
より(a,b)=(0,0)でなければならない。
f(x,y)=x²−y²とすると、
もし、f(x,y)=x²−y²が点(a,b)で極値をとるとすれば、
より、(a,b)=(0,0)となるが、f(x,y)=x²−y²は極値を持たない。
偏微分可能な関数f(x,y)が点(a,b)で極値がとるために、
は、十分な条件ではなく、必要な条件であることに注意。
停留点の定義
関数f(x,y)は偏微分可能であるとする。このとき、
を満たす点(a,b)を停留点という。
例３ 点(0,0)は、関数f(x,y)=x²+y²、g(x,y)=x²−y²の停留点である。
定理２ （極値をとるための十分条件）
f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、
であるとする。
また、
とする。
（ⅰ）
（ⅱ）
（ⅲ） D<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない
（ⅳ） D=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない
例４ f(x,y)=x²+y²とすると、点(0,0)はf(x,y)の停留点である。
また、
だから、
よって、定理２より、f(x,y)=x²+y²は、点(0,0)で極小。
g(x,y)=x²−y²とすると、点(0,0)はg(x,y)の停留点。
また、
よって、
したがって、定理２より、g(x,y)=x²−y²は点(0,0)で極値をとらない。
ヘッセ行列とヘッシアン
f(x,y)をC²級の関数とする。このとき、
をヘッセ（Hesse）行列といい、ヘッセ行列の行列式
をヘッシアン（Hessian）という。
ヘッシアンを用いると、定理２は次のように書き換えることができる。
定理２’ （極値をとるための十分条件）
f(x,y)は点(a,b)の近傍でC²級で、
であるとする。
f(x,y)のヘッシアンを
とすると、
（ⅰ）
（ⅱ）
（ⅲ） H(a,b)<0ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小でも極大でもない
（ⅳ） H(a,b)=0のとき、これだけではf(x,y)が点(a,b)で極値をとるかどうかわからない
問１ f(x,y)=−x²+xy−y²+xの極値を求めよ。
【解】
よって、停留点は
を解くことによって求められる。
この解は(x,y)=(2/3,1/3)なので、f(x,y)の停留点は(2/3,1/3)の１つ。
したがって、点(2/3,1/3)におけるヘッシアンは
（解答終）
（別解）
よって、f(x,y)は(2/3,1/3)で最大（極大）で、最大値（極大値）は1/3。
（別解終）
問２ f(x,y)=x³+y³−3xyの極値を求めよ。
【解】
まず、f(x,y)=x³+y³−3xyの停留点を求める。
①より、y=x²。これを②に代入すると、
したがって、f(x,y)の停留点は(0,0）、(1,1)である。
だから、
よって、f(x,y)は停留点(0,0)で極値をとらない。
したがって、
（解答終）