積分の有名問題に挑む
次の有名な積分の問題は、広義積分を使うと簡単に解けてしまうんだね〜。
問題 次の積分の値を求めよ。
【解答】
t=tanxとおくと、
x=0→t=0、x=π/2→t=∞（正確には
よって、
（解答終）
そして、これから
になる。
何故ならば、
右辺第二項の積分は、x=π−tとおくと、
よって、
この手の積分には、多少やましいところがあるくらいで丁度良い(^^ゞ
問題の解答は、t=tanxとおくと、
となることを使って、
としてもよい。
ところで、楕円
の面積Sは、
である。
とおき、代入すると、
と、上の楕円の極座標表示の方程式が得られる。
そして、この楕円の面積Sの1/4は
と、図形的な意味を考えると、積分の計算を一切することなく、この積分の値を求めることができるのであった。
と同時に、
になるのであった。
つまり、この積分は楕円の面積を表すものだったんだね〜。
そして、この曲を♪
流れで埋め込んだだけだケロ。ネムネコを頼りにしてもらったら困るにゃ。