対称行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する
問題 ２次の正方行列
は相異なる固有値をα、β（α≠β)を持つ。
αに対する固有ベクトルを
【解】
とする。
問題の条件より、
したがって、
よって、
ここで、
（解答終）
なお、
また、左上添字のtは転置行列をあらわす。
したがって、
そして、このことから、
対称行列Aが相異なる解α、βをもつとき、αに対する固有ベクトルとβに対する固有ベクトルは互いに直交する
ことが証明された。
【ネムネコによる泥臭い解答】
（１） b=0のとき
Aの固有方程式は
問題の条件より、Aの固有値は相異なる２実根を持つので、a≠cである。
k=aのとき
よって、固有ベクトル
k=cのとの、
よって、固有ベクトル
したがって、
（２） b≠0のとき
Aの固有方程式は
この相異なる２実根をα、βとする。
k=αのとき
したがって、このときの固有ベクトル
同様に、k=βのとき、
よって、固有ベクトル
したがって、
よって、
（解答終）
（※）
（１）の解をα、βとすると、解と係数の関係より
【ddt³さんの解答】
行列Ａの特性多項式＝0とおいたものは、
λ^2－(a＋c)λ＋ac－b^2＝0 (1)
だから、2次方程式の解と係数の関係より、
α＋β＝a＋c
αβ＝ac－b^2
このαを固有ベクトルの定義に代入すると、固有ベクトルx＝(x₁，x₂)について連立一次方程式、
(a－α)x1＋b･x2＝0
b･x1＋(c－α)x2＝0
が成り立たなければならない。ところがα，βは(1)を満たすので、上記2式は定数倍を除いて同じ条件になる。そこで上段をとれば、
x＝(－b，a－α) (2)
とできる。固有ベクトルの長さは不定だから。
同様に(1)を満たすβでも、固有ベクトルy＝(y₁，y₂)について
(a－β)x₁＋b･x₂＝0
b･x₁＋(c－β)x₂＝0
なので今回は下段を取り、
y＝(－(c－β)，b) (3)
をとれる。(2)，(3)からxとyの内積を取れば、
x・y＝b(c－β)＋b(a－α)
＝b((c－β)＋(a－α)
＝b((a＋c)－(α＋β))
ですが、解と係数の関係より、
α＋β＝a＋c
従って、
x・y＝(a＋c)－(α＋β)＝(a＋c)－(a＋c)＝0
となり、xとyは直交する。
（解答終）