２０回　斜交座標とベクトル


 


空間に１次独立の３つのベクトルe₁、e₂、e₃があるとする。ただし、このいずれも零ベクトルでないとする。このとき、順序付けたを基底という。また、空間中の任意のベクトルAは


　　


とe₁、e₂、e₃の１次結合であらわすことができる。この係数を縦に並べたをベクトルAの基底に関する反変ベクトルという。


 


の９個の内積


　　


を成分とする行列を計量行列という。


　　


が成り立つので、計量行列は対称行列である。


また、


　　


だから、とのなす角度をとすれば、


　　


である。


 


２つのベクトルとをとると、


　　


計量行列は対称行列なので、ベクトルAとベクトルBの内積は


　　


となる。


 


行列の逆行列を、すなわち、


　　


とすれば、が対称行列なのでであるである。


また、


　　


であるから、


　　


ここで、記号はクロネッカーのデルタ


　　


である。


 


ベクトルAの次の３つの内積


　　


を作り、これを横に並べた


　　


をベクトルAの基底に関する共役成分という。


 


２つのベクトルとの共役成分をそれぞれ(A₁,A₂,A₃)と(B₁,B₂,B₃)とすれば、


　　


同様に、


　　


内積は交換法則A・B=B・Aが成立するので、


　　


と、内積A・Bは反変成分と共変成分であらわすことができる。


 


ベクトルの共役成分は


　　


で与えられるので、同様に


　　


が得られる。


これは反変成分と共役成分との関係を与える。


の両辺にをかけて、jについて和をとれば、


　　


したがって、


　　


も共役成分と反変成分の関係を与える。