複素関数の連続に関する補充問題
連続の定義
z₀がw=f(z)の定義域Dに属し、
すなわち、
任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶとき、
が成り立つとき、f(z)はz₀で連続という。
である。
問題１ 次の関数はz=0で連続か。
【解】
（１） z=x+iyとおくと、z≠0のとき
y=mx（x>0）にそってzが0に近づくとき、
これはmの値によって変わるので、
よって、z=0で不連続である。
（２） z≠0のとき
よって、
となり、f(z)はz=0で連続である。
（解答終）
（２）は次のように答えてもよい。
【（２）の別解】
z≠0のとき、
よって、f(z)はz=0で連続である。
（解答終）
問題２ 次の関数はz=0で連続か。
【解】
（１） z≠0のとき、
したがって、f(z)はz=0で連続でない。
（２） f(0)=0。また、z=x+iyとすると、Im(z)=y。
よって、f(z)はz=0で連続である。
（別解）
z≠0のとき、
（解答終）
多変数関数の場合、ε-δ論法は複雑になるのでふつう用いないけれど、やってみますか。
とすると、g(t)は狭義単調増加関数。
したがって、0<ε<1、δ>0とし
とすると、
ε≧1のとき、δ=1とすると、
したがって、任意のε>0に対してδ>0を
にとれば、
となり、f(z)はz=0で連続である。
問題３ f(z)がz₀で連続であるとき、
【証明】
f(z)がz₀で連続だから、任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、
である。
このεに対するδを用いると、
したがって、
同様に、
したがって、
（証明終）
また、