ベクトル関数の発散
ベクトル関数A(x,y,z)のx、y、z成分を
とする。
このとき、
をベクトル関数Aの発散と言い、記号
などであらわす。
すなわち、
である。
ハミルトン演算子∇は
だから、ベクトル関数Aの発散∇・Aは
と、ハミルトン演算子∇とベクトル関数Aの内積と考えることができる。
問１
の発散を求めよ。
【解】
（解答終）
問２ 原点に対する位置ベクトルをrとするとき、次の発散を求めよ。
【解】
（１）
だから、
（２）
同様に、
よって、
（解答終）
なお、
は暗記物！！
ベクトル関数Aが
の発散は、
である。
と書き、
とおけば、これは微分演算子∇²をφに作用させたものと考えることができるから、
∇²をラプラス演算子、ラプラシアンと呼び、∇²のかわりに記号Δを使うこともある。
また、微分方程式
はラプラス方程式と呼ばれ、これを満足する関数を調和関数という。
問３ 原点からの距離をrとすると、
であることを示せ。
【解】
同様に、
したがって、
問２より
よって、
（解答終）
問３より、
は、ラプラス方程式∇²=0を満たすので、調和関数である。
問題 φがrのスカラー関数であるとき、
であることを示せ。