微分法を用いた不等式の証明

微分法を用いた不等式の証明

微分法を用いた不等式の証明は、例えば、f(x)>g(x)という不等式の場合、F(x)=f(x)−g(x)とし、微分法を用いてF(x)の増減を調べることが基本。

例　x²>2x−2を証明せよ。

このような問題があった場合、左辺と右辺の差をf(x)と置き、両辺をxで微分する。

　　

よって、x=1のときf(x)は最小（極小）。

したがって、

　　

である、ことが証明できる。

もっとも、この問題の場合、微分を使うまでもなく、

　　

と証明することができる。

では、問題。

問題　x>0のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

【解】

（１）

　　

とおく。

　　

したがって、x>0でf(x)は単調増加。

よって、

　　

また、
　　

したがって、g'(x)はx>0で単調増加。

ゆえに、x>0で

　　

よって、g(x)はx>0で単調増加。

　　

①、②より、

　　

（２）

　　

とおく。

　　

よって、f(x)はx>0で単調増加

　　

また、

　　

よって、g(x)はx>0で単調増加。

　　

①と②より、

　　

（解答終わり）
（１）、（２）ともに、マクローリン展開（テーラー展開）を
　　

有限項で撃ち切ったもの。

そして、（２）の
　　

と

　　

から、

　　

という不等式が出てくる。

また、（１）の

　　

の各辺をx=0からx=tまで積分すると、

　　

という不等式が得られる。

図から明らかように、各辺のすべての関数が偶関数なのだから、さらに次の不等式が得られる。

　　

なお、この不等式を得るにあたって、定積分の次の定理を使っている。

定理　f(x)、g(x)が[a,b]で連続、かつ、f(x)≧g(x)であるならば、

　　

f=gは、fとgが同一の関数、つまり、x∈[a,b]のすべてのxに対してf(x)=g(x)である、ことをあらわしている。

宿題　x>0で

　　

であることを利用して、

　　

であることを証明せよ。