番外編 数学的帰納法を使って、相加平均≧相乗平均≧調和平均を!!
問題1 次の不等式を証明せよ。ただし、文字はすべて正の数である。
相加平均≧相乗平均を使っていいというのならば、
が成立するので、
しかし、大学入試でこのような証明が許されるのかといえば、駄目だろうね(^^)
だから、この問題の場合は、次のように数学的帰納法を使って証明すべきなのだろう。【証明】
(Ⅰ) n=1のとき
(Ⅱ) n=kのとき
(Ⅲ) n=k+1のとき
ここで、
この結果を③に代入すると
数学的帰納法より、すべての自然数nについて
(証明終わり)
この不等式を使うと、
問題2
(1) f(x)を微分する。
(2) n=1のとき、
n=kのとき
(1)の結果より、x>0ではf(x)≧f(α)
よって、数学的帰納法により、すべての自然数nに対して
(解答終わり)
そして、この結果を使うと、
で、問題1に戻って