第３０回 一様収束と順序の交換
定理
有界閉区間[a, b]で連続な関数列
が[a, b]上でf に一様収束すれば、 が成り立つ。
前回、少しだけ話したこの定理を証明するにゃ。
【証明】
一様収束なので、
となり、
あと、
という積分の性質を使っているケロ。
ε-δ論法を用いた証明がよければ、
一様収束するので、
よって、
となり、
ということで、
が成立するんだにゃ。
この定理の有り難味はちょっとわかりづらいかと思うんだけれど、
例えば、
や
というのは、xが実数全域でf(x) = 0 に一様収束するのだから、積分なんかする必要もなくて、
であることがわかるんだケロ。
でも、まぁ、この定理は、積分の計算で実用的というよりも理論的な意味で重要な定理ではあるんだけれど・・・。
【宿題】 次の式で定義される関数列
定理
[a, b] 上の
級の関数列 が関数fに各点で収束し、さらに が[a, b] 上で一様収束するならば が成り立つ。
【証明】
となる。
微分の場合は、
例を挙げてみると、[0,1] で
これは、微分すると
これが0に一様収束であることは前にやったにゃ。
で、
はf(x) = 0 に各点収束するので、この定理が使えるんだケロ。
一体、何をやっているんだって話になるんだけれど（ポリポリ）。
今回は、純粋に理論的な話だと、諦めてくんな。
からわかるケロ。