第２９回
定義域 [a, b] （a ≦ x ≦ b）で定義される
が成立するかどうかという話だにゃ。
とすると、これはx が実数全域で f(x) = x に各点収束することは前にやったにゃ。
試しに、計算すると、
となり、この場合は、①が成立しそうだにゃ。
じゃぁ、常に①が成り立つ？
問題 [0,1]で定義される
は、
が成立するか？
【解】
より、f(x) = 0 。
よって、
となる。
だから、一般に①は成立しないんだケロ。
ね。
置換積分を使うならば、
とかやればいいにゃ。
つまり、各点収束の場合、①式が成り立つ場合もあれば、成り立たない場合もあるということだケロ。
【宿題】 [0,1]で定義される
は一様収束でなく、各点収束であることを示すケロ。
と宿題を出したいところだけれど、どうせ、やんないだろ（ポリポリ）。
このことから
で極値をとる。
これは奇関数だから、x ≧ 0 だけで十分なんだけれど・・・。
だから、
となって、これは一様収束ではなく、各点収束である。
収束の様子は
みたいな感じ。
nの値を大きくすると、全体的に0 に収束してゆくけれど、n を大きくすればするほどピークが高くなってしまうので、一様収束にならないんだケロ。
グラフを書いてみて気づいたんだが、きれいな絵だ。
こういう図を見て感動を覚えない人は、数学を必要としない人だと思う。
は、必ず成り立つんだけれどね。
微分の方は一様収束でも
は成り立たないんだけれど。
微分の方が強い条件がいるんだケロ。
例 [0,1]で定義された
これは、極限関数が0 で一様収束するのだけれど、
x = 1 のところで、②式は成立しない！！