ねこ騙し数学 極限を求める
問題１ 次の極限を求めるケロ。
ネムネコの持っている演習書にある答。
―――あまりに簡潔にすぎるので、これでも少し補っています―――
【答】
とおく。
よって、
簡潔にして、非常に上手い。
ケチをつけようと思えばつけれるけれど、上手い！！
でも、この答を見て、何を書いているのかわからない人がほとんどだと思うケロ。
だから、ちょっとだけ解説すると、
となるにゃ。
で、どこから、突然、
が出てきたかというと、
で、これをn 乗すると
になるというわけだケロ。
そして、
ここでは、お馴染みのはさみうちの定理を使っているよ。
でも、こんな上手い方法、そうそう思いつくもんじゃない。少なくともネムネコには無理にゃ。
で、ちょっと調べてみたら、大昔の大学入試問題にこんなのがあったケロ。
問題２
（１）x を正数とするとき、次の不等式を証明せよ。
（２）不等式
を証明せよ。
（３）これを用いて
を求めよ。
（１）は、二項定理より
（３）は、（２）の結果を使って
誘導があるからネムネコにも解けるけど、こうした上手い方法を思いつけるかと言えば、まぁ、ネムネコには無理だにゃ。
として、この極限を求めればどうだって話だケロ。
これはn で自然数なんだけれど、これを拡張して実数のx とすれば、
なるケロ。
この極限は、微分ところでやったにゃ～。
なので、ロピタルの定理を使て、
自然数は実数の部分集合なのだから、
つまり、
傷はあるけれど、一応、こうやって求めることが出来るケロ。
微分のところで、
が成り立つことを証明したにゃ。
探すの面倒なのでいまここで証明するけれど、
これから、x = 1 のときに極小となり、
と証明できる。
この結果を使えば、
とすることも出来るにゃ。
としてもいいにゃ。
すでに微分を知っているんだから、微分を使っちゃいけないという掟はないケロ。