お前らに質問（１２月１６日 数列の極限）の解答例
問題１ 数列
【解答例】
を否定すると、
すなわち、
どんな実数値αに対しても、ある実数ε>0が存在し、任意の自然数Nについて、
となる自然数nが（少なくとも１つ）存在する、こと。
（解答例終）
命題「pならばq」の否定は、
「pかつqでない」だから注意するにゃ。
さらに、高校の数学で、
「すべての◯」（∀◯）の否定は「ある◯」（∃◯）、「ある△」（∃△）の否定は「すべての△」（∀△）
って習ったはずだから、この規則にしたがえばいいにゃ。
そうすれば、（１）の否定である（１’）が得られる！！
ちなみに、
数列の極限の定義（１）は、「数列の極限値は、それが存在すれば、ただ１つに限る」とまでは主張していない。「そんなものがあるとすれば、すくなくとも１つはある」としか言っていない。
したがって、極限値が１つに限るということは、定義（１）などから証明すべきことなのであった！！
問題２
であることを示せ。
【解答例】
である。
ε>0は任意なので、
を満たす自然数Nが存在する。
よって、このとき、
（解答終）
細かいヒトは、
ではなく、「すべての」、「任意の」を表す「全称記号」∀をつけて
としたりするにゃ。
類題
であることを示せ。
問題３ 数列
すなわち、
である実数Mが存在する。
このことを利用して、極限の公式
を証明せよ。
【解答例】
だから、
また、
となり、
次に、少なくとも１つ
数列
つまり、
となる実数M>0が存在する。
また、
任意のε>0に対して、ある自然数N₁、N₂が存在し
が成り立つ。
よって、
任意のε>0に対して、n≧Nならば
となるので、
したがって、
である。
（解答例終）
(M+｜α｜)=0だと
となって、
という条件を満たさなくなるので、塩梅が悪いにゃ。
そこで、
そうならないように、
とそうでない場合に分けたケロ。
突っ込まれないようにこう書いたけれど、
を満たす実数Mは
である必要は必ずしもないから、上の部分は要らな言っちゃ〜要らない。
てなわけで、
こういうことを踏まえて、
「数列
つまり、
となる実数M>0が存在する」
とすればいいんだウサ。
実は、みんなの幸せを願う「ウサギ」のネムネコでした。