お前らに質問（１０月２０日 微分積分）の解答例
問題 次の問に答えよ。
（１） 次の関数f(x)が減少関数であることを示せ。
（２） 次の不等式を示せ。
【解】
（１）
0<x<π/2でx<tan xだから、'(x)<-0。
よって、f(x)は減少関数。
（２） （１）より、0<x<π/2とすると、f(0)>f(x)>f(π/2)。
したがって、
（解答終）
追加問題
としたとき、f(x)はx=0で微分可能か？
せっかく、積分と不等式をやっているので、積分を使って解きますか。
【解答例】
0<xで0<sin x < xだから、
したがって、
f(x)はx>0で減少関数だから、
h>0とすると、①より、
したがって、ハサミ打ちの定理より、h→0+0のとき、
f(x)はx=0に関して対称なので、
よって、
となり、f(x)はx=0で微分可能である。
（解答終）
「f(x)はx=0で対称だから」以降が厳密でないという人には・・・。
t<0とすると、①より
また、f(x)はx<0で増加関数だから、h<0とすると、
したがって、ハサミ打ちの定理より、
ゆえに、
となり、f(x)はx=0で微分可能である。
また、次のような別解を作ることも可能であろう。
【別解】
h≠0とする。
点x=0のまわりでsin h を３次の項までテーラー展開（マクローリン展開）すると、
よって、
（別解終）
記事の内容に全く関係ないけれど、