斜方投射と到達距離
北朝鮮が、また、ロケット花火を打ち上げたので、極初歩的な弾道軌道の計算をしてみることにするにゃ。
地球は球形だけれど、問題を簡単化するために、地球は平ら、重力加速度gは一定と仮定する。
§１ 放物運動 （空気抵抗がない場合）
このとき、（ニュートンの）運動方程式は次のようになる。
初期条件は
t=0のとき
これを積分すると
初期条件x(0)=0から
②の両辺をmで割ると
重力加速度gは定数だから、両辺を積分すると
初期条件
さらに積分すると
初期条件y(0)=0より
したがって、
が解になる（高校の物理の公式）。
次に、質点の運動の軌道を求めることにする。
（３）より、
これを（４）式に代入すると
したがって、最高の高さHは
到達距離Lは
0<θ<９０°とすると、sin2θ=1になるのはθ=45°の時だから、最大到達距離
である。
もっと簡単に解けるけれど、高校の物理などとの兼ね合いで、こう解いてみたにゃ。
【解】
v=0のときに、yは最大になる。
したがって、（２）より
これを（４）式に代入すると、
（４）式でy=0になるtの値を求めると、
したがって、
（解答終）
§２ 空気抵抗がある場合
以上の議論は空気抵抗がない場合の話。空気抵抗が速度に比例する場合、運動方程式は次のようになる。
kは比例定数だケロ。
初期条件は空気抵抗がない場合と同一とする。
③の一般解は見た瞬間
とわかる。
初期条件は
これを積分すると
t=0のときx=0だから
④はじっと見ると
初期条件は
これを積分すると
t=0のときy=0だから
よって、
したがって、微分方程式の解は
（１１）をtについて解き、それを（１２）に代入すれば、軌道をy=f(x)という形で表すことができるけれど、形がオドロオドロなりすぎるにゃ。
問 変数分離で④を解け。
地平線（x軸）にぶつかれば跳ね返るけれど、跳ね返ることなくもし永遠に落下し続けるとすれば、終端速度は
そして、
ここで、お前らに問題。
問題１ t≧0とするとき、（１２）式で与え与えられるyの最大値Hを求めよ。
【ヒント】
yが最大になるとき、
到達距離Lを求めようと無謀なことは考えないほうがいいにゃ。
だって、
の解を求める必要があるからだにゃ。
まぁ、t=0という自明な解はすぐに求まるが・・・。
問題２ km/t>0が１に対して非常に小さいとき、空気抵抗がない時の解（１）〜（４）は、空気抵抗を考慮した解（９）〜（１２）の近似になるはずである。
このとことを示せ。
【ヒント】
ところで、ネムネコは微分方程式
を次元（物理単位）をもつまんま解いたけれど、この微分方程式は何らかの方法で無次元化して解くべきだね。
たとえば、無次元化された速度
は無次元化された時間
を導入する。
すると、（無次元化された）微分方程式は次のようになるのかな。
ここで、γは無次元化された重力加速度で
こうすれば、「メートル」、「フィート」や、「キログラム」、「ポンド」といった単位によらないより普遍的な方程式になり、微分方程式を解くのも楽になる。
こうすると、初期条件は
ネムネコが考えるに、
ddt³さんが、きっと、こういった話をしてくれるに違いない。
さらに、初期値問題⑨を解くスプレッドシートを作ってくれるに違いない(^^ゞ