熱伝導方程式の変数分離法による解
ddt³さんの記事に熱伝導方程式の話が出たので
z=z(t,x)とし、
熱伝導方程式
を満たす、
の形の解を求めることにする。
（２）を（１）に代入すると、
仮定より、右辺は変数xだけの関数、左辺は変数tだけの関数になるので、（３）式の値は定数でなければならない。
（３）式の値が正のとき、p²（p>0)とおく。
すると、
となり、
したがって、
（３）式の値が負のとき、−p²とおくと、
したがって、この解は
（３）式の値が0のとき、
となり、解は
である。
（３）式の値が正、０のとき、t>0のときの境界条件
を満たすためには、z=0となり、解として不適。
というわけで、（３）式の値は負でなければならず、
の形で表されるものでなければならない。
境界条件z(t,0)=z(t,a)=0を満たさなければならないので、
①から、c₂=0。
c₁=0のとき、②は満たすが、初期条件z(0,x)=f(x)を満たすためにはf(x)=0となってしまい都合が悪い。
というわけで、②式を満たすためには、
でなければならなず、
したがって、
が解になりそうですが（
を満たさない。
そこで、
が解だったらいいなと考え、
が成り立つように係数を
すると、
フーリエ級数から
と係数
が求める偏微分方程式の解になる。