確率・統計と極限の融合問題
問題１ 外観では区別できない２つの袋U₁、U₂があり、
U₁には４ｎ個の赤い玉とｎ個の白い玉
U₂には２ｎ個の赤い玉と３ｎ個の白い玉
がそれぞれ入っている。このどちらかが観測者に手渡され、袋U₁が手渡される確率は2/3、袋U₂が手渡される確率は1/3である。
観測者は手渡された袋から３個玉を取り出し、赤い玉の数が白い玉の数より多いときはU₁であり、そうでないときはU₂であると判断する。観測者が誤った判断を下す確率
【解】
観測者が誤った判断を下すのは次の２つの場合である。
袋U₁が手渡され、赤い玉が１、白い玉が２個、または、白い玉が３個
袋U₂が手渡され、赤い玉が３個、または、赤い玉が２個、白い玉が１個
したがって、
よって、
（解答終）
問題２ さいころをn回投げ、出た目の最大数がxとなる確率を
【解】
出た目の最大数がxになる確率は、さいころをn回投げたとき、すべて１からxの目が出る確率から、すべて1からx−1が出た確率を引いたものになるので、
したがって、
（解答終）
問題３ 箱の中に１,２,・・・,9の数字を１つずつ書かれたカードが９枚入っている。これを無作為に１枚取り出し、その数字を調べてから元の箱に戻す。これを３回繰り返して、取り出したカードの最大数をXとする。kを１≦ｋ≦９である整数とするとき、次の問に答えよ。
（１） X≦kである確率を求めよ。
（２） X＝kである確率を求めよ。
（３） Xの期待値を求めよ。
【解】
（１） これはk以下の数が３回続けて取り出す場合なので、
（２）
（３）
（解答終）
類題 ２つの箱に１からnまでの通し番号を書いたn枚のカードが入っている。各箱から同時に１枚ずつカードを取り出し、番号を比較して、小さくない方をXとするとき、次の問に答えよ。
（１） X=kである確率をnとkで表わせ。（ｋは整数で１≦k≦n）
（２） Xの期待値をnの式で表わせ。
【答】
問題４ 次のようなゲームを考える。サイコロを投げて偶数の目が出れば続けて投げ、奇数の目が出ればそこでゲームを止める。k回続けて偶数の目が、（ｋ＋１）回目に奇数が出た場合にk点が与えられるものとする。
（１） 偶数の目が続くことがn回以下としたときの得点の期待値
（２）
【解】
（１） 得点がｋ点であるのは、k回引き続き偶数が出て、k+1回目に奇数が出る場合なので、この確率
したがって、求めるべき期待値は
①に1/2を掛けて、①との差をとると、
（２） n≧２のとき
したがって、
よって、ハサミウチの定理より、
したがって、
（解答終）