比率の推定 確率・統計
母集団から標本をn個抽出し、賛成・反対や良品・不良品などの比率の推定について、工場製品に占める良品の比率を例に考える。
母集団から無作為に取り出した標本の数がnで良品x個、良品の比率をpとすると、n個の中に良品がx個含まれている確率は
であり、この確率分布は二項分布B(n,p)になる。
nが大きいとき、これは
の正規分布と考えてよい。
したがって、
の分布は正規分布N(0,1)だから、
信頼度９５％で、
この両辺をnで割ると、
同様に、信頼度９９％で
問題１ 全製品中から４００個を任意に抽出したところ、２８０個が良品であることがわかった。全製品に占める良品の割合を信頼度９５％で推定せよ。
【解答】
全製品の良品の割合をpとすると、各標本について良品の占める割合はpだから、n個の標本中x個が良品である確率は
となり、平均np、標準偏差
n=400と大きいので、これは正規分布とみなすことができて、（１）より、信頼度９５％で
n=400、x=280だから、これを上式に代入すると
pは0.7に近いと考えられるので、p=0.7として右辺に代入すると、
よって、信頼度９５％で
（解答終）
もちろん、①式の右辺にp=0.7を代入せず、不等式①の両辺を２乗して、不等式
を解き、pの解を求めても好い。
すると、
くらいになる。
次に世論調査などで必要になるサンプル数の個数について考える。
標本の数をn、賛成者の数をx、母集団の賛成者の割合をpとする。
信頼度９５％で誤差0.03とすると、（１）より
となるように標本数nを定めればよい。
したがって、
この場合、pは0≦p≦1の値を取りうるので、
の最大値を求めると、
となるので、（３）の左辺にp=1/2を代入すると、
となる。
したがって、約１０００人調査すれば、信頼度９５％で誤差0.03、すなわち、誤差３％で賛成者の割合を求めることができる。
問題２ ある意見に対する賛成者の比率は３０％前後であると予想される。賛成者の真の比率を３％以下の誤差で推定するには、何人≧について調べればよいか。信頼度を９５％以上と信頼度９９％以上の場合について求めよ。
【解答】
回答者の数をn、その内の賛成者の数をxとする。
９５％のとき、
９９％のとき、
したがって、信頼度９５％のときは
となるようにnをとればよい。
p=0.3とすると
信頼度９９％のときは
p=0.3として代入すると
したがって、
信頼度９５％のときは約９００人
信頼度９９％のときは約１６００人
（解答終）