第１０回 「すべての」と「ならば」を含む複合命題
数学には「a(x)ならばb(x)」という形の命題が多い。これは、条件命題ではなく、全称命題
「すべてのxについて、a(x)ならばb(x)」
または
「すべてのxは、a(x)ならばb(x)」
で、
の意味である。
ところで、
であるので、
となる。
a(x)、b(x)の真理集合をA、Bとすると、条件命題
となる。
すなわち、
したがって、∀x(a(x)⇒b(x))の真偽は、真理集合の包含関係A⊂Bを調べることにことによって知ることができる。
また、このことから、
となる。
問１ 次の命題の真偽を調べよ。
（１） x²+x<2ならばx²−x<2
（２） x²−3x+2<0ならばx²+3x+2>0
（３） x+y<1ならばx²+y²<1
【解答】
（１） x²+x<2の真理集合をA、x²−x<2の真理集合をBとすると、
したがって、偽
（２） x²−3x+2<0の真理集合をA、x²+3x+2>0の真理集合をBとすると、
よって、真である。
（３） x+y<1の真理集合をA、x²+y²<1の真理集合をBとすると、
A,Bを座標平面上に書くと、下図のようになり、
よって、偽である。
（解答終）
問２ 真理集合包含関係を調べて、実数x、yに関する次の命題に真偽を定めよ。
【解答】
（１） y=|x|の真理集合をA、y²=x²の真理集合をBとすると、
これを図示すると、下図のようになり、A⊂B。
したがって、この命題は真である。
（２） (x²+y²<1)∧(x+y+1<0)の真理集合をA、(x<0)∧(y<0)の真理集合をBとすると、
これを図示すると、下図のようになり、A⊂B。
したがって、この命題は真である。
（解答終）
問３ ある正の数a、bに対してax+by>0ならば、x>0またはy>0であることを証明せよ。
【解】
だから、この対偶をとると、
すなわち、
x≦0かつy≦0ならば、全ての正数a、bに対してax+by≦0である
になり、これは明らか。
よって、成り立つ。
（解答終）