第５回 恒真命題と恒偽命題
§１ 恒真命題と恒偽命題
命題a⇒bは、aとbの命題の真偽によって真にも儀にもなるが、(a∧b)⇒aや、a⇒(a∨b)などは、aとbの真偽にかかわらず常に真である（下表参照）。
このように、ある複合命題が、それを構成する命題a、b、c・・・の真偽にかかわらずつねに真であるとき、その複合命題は恒真である、または、恒真命題といい、記号Iで表すことにする。
また、複合命題を構成する命題a、b、c・・・の真偽にかかわらずつねに偽であるとき、その複合命題は恒偽である、または、恒偽命題といい、記号Oで表す。
恒真命題と恒偽命題の定義から次の関係が成立する。
§２ 同一律と排中律
a | a⇒a | |||||||
T | F | T | T | |||||
F | T | T | T | |||||
上の真偽表より明らかなように、同一律と排中律はともに恒真命題である。すなわち、
である。
また、a⇒aは、
と変形できるので、同一律と排中律は同じものと考えることができる。
§３ 矛盾律と矛盾
だから、
したがって、
また、命題aと命題bがともに真であることができない、すなわち、
であるとき、命題aとbは矛盾するという。
§３ 恒真命題と恒偽命題の演算規則
aを任意の命題とするとき、恒真命題Iと恒偽命題Oについては次の関係が成り立つ。
問１ a、b、cを命題とする。次の問に答えよ。
（１）、a∧bと
であることを示せ。
（２） ２つの命題
【解】
（１）
よって、矛盾しない。
（２）
よって、矛盾しない。
（解答終）
問２ 次の等式を証明せよ。
【解】
（解答終）
（２）、（３）は吸収法則
の証明になる。
問３ 次の複合命題が恒真命題であることを示せ。
【解】
（解答終）
問４ 次の等式を証明せよ。
【略解】
または、
（解答終）
問５ 次の命題が恒真命題であることを示せ。