一様連続とリプシッツ連続の問題の解答例
問５ f(x)を区間Iで微分可能な関数とする。任意のx∈Iに対して、
ならば、任意のx、y∈Iに対して
が成り立つ。逆も成り立つことを示せ。
【解答】
x,y∈I、x≠yのとき、平均値の定理より次の関係を満たすcがxとyの間に存在する。
したがって、
逆に、x≠yのとき。
（解答終）
問題 関数
について、次の問に答えよ。
（１） f(x)が[0,1]で一様連続であることを一様連続の定義に従って示せ。
（２） f(x)は[0,1]でリプシッツ連続でないことを示せ。
【解答】
（１） a≧0、b≧0のとき、
である。
x₁、x₂∈[0,1]、さらに、x₁≧x₂とする。
任意の正数ε>0に対して、δを
に定め、
とすると、①より、
したがって、
x₁>x₂の場合も同様に、
となり、f(x)=√xは[0,1]で一様連続である。
（２） nを任意の自然数とし、
とする。
f(x)=√xが[0,1]でリプシッツ連続であるとすると、
を満たす実定数Kが存在することになるが、これでは自然数が上に有界であることを示すので、このような実定数Kは存在しない。
したがって、f(x)=√xは[0,1]でリプシッツ連続でない。
（解答終）