高校数学でおなじみのあの問題の二分法を用いた解答例
問題 閉区間[a,b]で連続な関数f(x)について、a≦f(x)≦bであるならば、
となるcが[a,b]に存在することを示せ。
【中間値の定理を用いた解答例】
f(a)=aまたはf(b)=bならば、c=aまたはc=bをとればいい。
そこで、f(a)>a、f(b)<bとし、
という関数g(x)について考える。
f(x)とxは[a,b]で連続だから、g(x)は[a,b]で連続。
だから、中間値の定理より、
となるcが[a,b]に存在する。
（解答例終）
【二分法を用いた解答例】
g(a)=f(a)−a=0、または、g(b)=f(b)−b=0のとき、aまたはbがお目当てのcになるので、この場合は除くにゃ。
（解答終）
g(a)=f(a)−a=0、または、g(b)=f(b)−b=0のとき、aまたはbがお目当てのcになるので、この場合は除くにゃ。
とし、[a,b]を[a₁,b₂]とする。
そこで、
とし、
ならば、このc₁がお目当てのc。
とおき、[a₂,b₂]という新たな閉区間を作る。
で、
とし、
ならば、c₂がお目当てのc。
とする。
そして、新たな閉区間[a₃,b₃]を設け、
とおき、
ならば、これがお目当てのものなので、ここで終了。
とおき、
そして、この操作を繰り返す。
すると、
となる。
この構成法からすべての自然数について、
が成立していることは言わずもがなであり、
となる。
だから、
となる。
この構成法から、すべての自然数nについて
であること、また関数gは連続であることから、
よって、
したがって、この極限値γがお目当てのcとなる。
（解答終）