お前らに問題 １０月３０日

お前らに問題　１０月３０日

 

ものすごく簡単な問題だと思うのだけれど、お前らに問題。

 

問題

同一平面上に点Oを中心とする円Oと円Oの外に点Aがあるとする。

このとき、円周上の点Pと点Aの線分APの長さが最短になるのは、図のように点Oと点Aを結ぶ線分OA上に点Pがある場合であることを証明せよ。

 

 

Oの座標を(0,0)、円Oの半径をr>0、さらに、Aの座標を(a,b)、さらに円周上の点Pの座標を(x,y)とすると、x²＋y²−r²=0の制限下で

　　

の最小値を求める問題になる。

そこで、

　　

あるいは、

　　

ただし、a²+b²>r²として、ラグランジュの未定乗数法を用いて、最小値を求めるもよし、

　　

として、

　　

から、線分APの最小値を求めるもよし、

どのような方法を用いようがお前らの自由。

 

とにかく、この問題を解くにゃ。

 

まっ、上の図にほとんど答えを書いてあるようなもんなんだけれど(^^)
なのだけれど、この手の図形の論証問題は苦手というヒトが多いのも事実。下の動画のように、お手上げのヒトも多いのかもしれない（笑）。

初等幾何で解くつもりならば、きちんと証明するように。
そして、できた奴は、コメント欄に解答を書いて送信すること。