第２種楕円積分
楕円
の弧の長さsについて考える。
とおくと、これは上の楕円のパラメータ表示（極座標とは異なるので注意）になるので、弧の長さは次式で与えられる。
ここで、
とおけば、楕円の弧の長さは次式で求められる。
（１）式の右辺に現れる積分を第２種楕円積分といい、次の記号で表す。
φ=π/2までの積分を第２種完全楕円積分といい、
すなわち、
楕円の周の全長をLとすると、対称性から、
また、t=sinθとおくと、
なので、
になる。
これをルジャンドルの標準形という。
したがって、第２種完全楕円積分は
問 次の曲線の長さを求めよ。
【解】
この曲線の長さをsとすると、
（解答終）
したがって、
の長さLは