レムニスケート積分
と表される曲線のことである。
デカルト直交座標でこの曲線を表すと、
である。
このレムニスケートの弧の長さを求めることにする。
線素をdsとすると、
である。
r=f(θ)で表される極座標の場合、
なので、
となるので、
となる。
r²=2a²cos2aだから、
したがって、弧の長さは
になる。
ここで、t=tanθとおき、
よって、レムニスケートの一周の長さLをとすると、
になる。
√2a=1のとき、
になる。
つまり、
と広義積分は、レムニスケートr²=cos2θの一周の長さ（全周の長さ？）の1/4ということになる。
さてさて、（１）式のθの範囲は、0≦θ≦π/4なので、
とおくと、0≦φ≦π/2において
となり、（１）は
この右辺の積分はヤコビの楕円積分
したがって、
となり、レムニスケートr²=2a²cos2θの一周の長さ（全周の長さ？）は
になるというわけ。
まぁ、これはハッキリ言って愚痴なんですが、
をレムニスケートと呼ぶ場合もある。
無用な混乱の原因になるから、定義を統一してもらいたいものである。