独立試行の確率の補充問題
独立試行の確率
１回の施行で、事象Aの起こる確率をpとする。この施行をn回繰り返すとき、事象Aがk回起こる確率は
独立試行で最大確率の場合の回数
１回の施行で事象Aの起きる確率をpとするとき、n回の施行のうちで事象Aがr回起きる確率が最も大きいとすれば、次の不等式が成り立つ。
問題１ １つのさいころを５回投げるとき、
（１） ４の目が３回出る確率求めよ。
（２） ４の目が３回以上出る確率を求めよ。
【略解】
４の目がk回出る確率を
（解答終）
類題 １つのさいころを３回投げるとき、次の確率を求めよ。
（１） １の目がまったく出ない確率
（２） １の目が１回出る確率
（３） １の目が２回以上出る確率。
【略解】
１の目がk回出る確率を
（略解終）
１の目が２回以上でる事象の余事象は、１の目がまったく出ない、または、１の目が１回出る事象なので、余事象の確率を使い次のように求めることもできる。
問題２ AとBが互いに１つのさいころを投げて、最初に２の目を出したものを勝ちとする。Aから始めるとき、
（１） Aが勝つ確率を求めよ。
（２） Bの勝つ確率はAと同じと言えるか。
【解答】
（１） nを正の整数とするとき、Aから交互にコインを振ってAが2n−1回目に勝つのは、2ｎ−2回目まで２以外の目が出て、2n−1回目に2のさいころの目が出るとき。
このときの確率は
よって、Aが勝つ確率は
（２） Bの勝つ確率は
なので、Aの勝つ確率と同じではない。
（解答終）
類題 袋の中から１から１０までの番号を書いた札が１つずつ入れてある。いまA、B２人がAからはじめて交互に１枚ずつ札を取り出し、先に１の番号の札を出したものを勝ちとする。取った札は必ず元に戻すことにすれば、A、Bが勝つ確率はいくつか。
【略解】
Aが勝つ確率は
Bが勝つ確率は
（略解終）
問題３ さいころを振って、偶数の目が出たらそのたびにもう１回振り、奇数の目が出たらそこで止めるものとし、k回でやめとなればk円もらえるものとする。最大回nまで振るものとし、その期待金額を
【解】
k回でやめになる確率を
よって、期待金額
両辺を1/2倍すると
①と②の差をとると、
よって、
（解答終）
問題４ さいころを５０回投げるとき、５の目が何回出る確率が最も大きいか。
【解】
n=50、p=1/6、５の目が出る確率が最大となる回数をrとすると、（２）より
よって、８回
（解答終）
類題 硬貨を１００回投げるとき、表が何回出る確率が最も大きいか。
【解】
p=1/2、n=100、表の出る確率が最大である回数rとすると、
よって。５０回
（解答終）
問題５ さいころをn回振るとき、少なくとも１回６の目が出る確率が0.9より大きくなるか。ただし、log₁₀2=0.3010、log₁₀3=0.4771とする。
【解】
題意より、
両辺の常用対数をとると、
ここで、
よって、
したがって、
よって、n=13回。
（解答終）