楕円
である。
ここで、
このE(k)を第２種完全楕円積分という。
問題 曲線x²+xy+y²=2について、次の問に答えよ。
（１） この曲線が楕円であることを示せ。
（２） この曲線の全長を求めよ。
【解答例】
（１） 点(x,y)を原点を中心に反時計回りにπ/4回転させた点を(x',y')とすると、
これをx²+xy+y²=2に代入すると、
となり、これは楕円である。
（２） a=2、b=2/√3とおくと、
したがって、この楕円の全長Lは
（解答終）
（１）は、
そこで、行列
の特性方程式を解くと、
だから、
・・・
と、線形代数やテンソルなどの知識を使って解くこともできる。
問題 a>0とする。点(a,0)を中心とする半径aの円について次の問に答えよ。
（１） 円の方程式を求めよ。
（２） この円の極座標表示の方程式を答えよ。
【解答】
（１）
（２）
極座標なのでr>0。
したがって、
（解答終）
極座標の場合、θは0≦θ<2πにとるのが一般的ですが、上のようにθの範囲を定めたほうがいいと思います。
(x−a)²+y²=a²を極座標平面に移すと、原点O(0,0)に対応する点が抜け落ちるんだケロよ。
だから、θ=±π/2のとき
にすればいいなんてことをしてはいけない。
面積ですが、
は、極座標変換によって
に移ります。
そして、ヤコビアンJは
だから、
となる。
２重積分ではなく、
という公式を使って面積を求めるならば、