例題 次の定積分の値を求めよ。
【解】
だから、
（解答終）
となり、上の定積分は半径aの円の面積の1/4になるので、図形的な意味を考えて
としてもよいのだそうだ。
さてさて、例題の計算に注目するにゃ。
となるだろう。
となる。
また、正弦関数の倍角公式を用いると、
この結果を①に代入すると、
という不定積分の公式を得ることができる。
問題 次の値を求めよ。
【解答（？）】
【解答（？）終】
という結果は正しいですが、この問題の【解答（？）】は正しいですか？
上の被積分関数はx=aのとき分母がゼロになるので問題の定積分もどきは、
ε>0のとき、
といったような広義積分になりますが、上のように計算して大丈夫ですかね〜。
ですから、ここは
といった不定積分の公式を使って、この広義積分の値を求めたほうが安全かもしれない。
テストなどでこの問題が出題されるときは、広義積分の問題としてなので、これを置換積分の問題と勘違いし【解答（？）】のように解くと、大学の数学の先生はニヤリとほくそ笑み、「引っかかったな」と、減点するかもしれない（笑）。
この問題は、大学の数学の先生が学生を落とし込めるための罠を仕掛けてある、非常に危険な問題なのであった(^^ゞ
宿題
【解答（？）】にほとんど答を書いてあるようなものだが・・・。
普通、
と置いて、逆関数の微分を用いて、
と、この不定積分を求めますが、置換積分を用いて求めることもできる。
ヤコビの楕円関数（第一種楕円関数）
で、t=sinθとおくと、
になるんですわね〜。
これを見ていて、ふっと、思ったのさ。
できる奴は、（４）が成立することまで示す。