微分方程式のよもやま話１９ 初等的解法と演算子法
α、βを実数とする。
微分方程式
の初等的な解法について考える。
とおくと、（１）は次のように書き換えることができる。
この両辺に
これをyの微分方程式に戻すと、
この両辺に
β≠αのとき、
ここで、
とおけば、（１）の一般解は
である。
α＝βのとき、
よって、（１）の一般解は
ここで、C₁、C₂は任意定数。
したがって、
α≠βの場合は、
α＝βのときは
を計算することにより、特殊解を求めることができる！！
さて、次の微分方程式について考える。
これは次の微分演算子
を用いると、次のように書き換えることができる。
したがって、
となる。
ところで、（５）の一般解は
なので、
したがって、
となる。
特に、α=βのとき、
このようにして求めた（９）、（１０）と（３）、（４）と一致する。
ここで
さらに、
とおくと、（９）より、
c≠βのとき
よって、c≠αのとき
となる。
前々回の公式
を導くことができた。