第１４回 濃度の和
濃度の定義
α、βを任意の濃度とする。このとき、α=｜A｜、β=｜B｜かつA∩B=∅である集合A、Bをとり、その直和A＋Bの濃度｜A＋B｜をαとβの和といい、記号α＋βで表す。
一般に、α=｜A｜、β=｜B｜、A∩B=∅である集合A、Bは無数に存在する。したがって、上の定義が成立するためには、集合A、Bの選び方にかかわらず、｜A＋B｜が変わらない必要がある。選び方によって変わらないことは次のように示すことができる。
α=｜A｜=｜A’｜、β=｜B｜=｜B’｜で、かつ、A∩B=∅、A’∩B’=∅とする。
｜A｜＝｜A’｜、｜B｜＝｜B'｜だから、AからA’、BからB'への全単射f、gが存在する。
とすると、hはA＋BからA’＋B’への全単射になる。
よって、
例１ 任意の濃度αに対し、
である。
｜A｜=0、α=｜B｜とすると、A=∅で、A∩B=∅。また、A+B=B+A=B。
よって、
例２
Aを偶数全体の集合、Bを奇数全体の集合とすると、A∩B=∅で、A+Bは自然数全体の集合。
また、
したがって、
例３
また、
よって、
定理 α、β、γ、α’を濃度とすると、次のことが成り立つ。
【証明】
（１） ｜A｜=α、｜B｜=β、A∩B=∅とすると、
したがって、
（２） ｜A｜=α、｜B｜=β、｜C｜＝γ、さらに、A∩B=∅、A∩C=∅、B∩C=∅とする。
すると、｜A+B｜=α+βで、また、
したがって、
同様に、
一方、
故に、
（３） ｜A’｜=α’、｜B｜=β、A’∩B=∅とし、α≦α’とすれば、｜A｜=αかつA⊂A’であるAが存在し、A∩B=∅。
ゆえに、｜A'+B｜=α’+β、｜A+B｜=α+β。
一方、A+B⊂A’+Bだから
したがって、
（証明終）
（１）は濃度の加法の交換法則、（２）は濃度の加法の結合法則。
さらに、（２）から次のように、括弧を省いた書き方が許される。
例３ 任意の無限濃度について
｜A｜=αとすれば、Aは無限集合。無限集合Aは可算集合Bを部分集合にもつ。このとき、
（A-B）∩B=∅だから
よって、
したがって、
問１ α、β、α’を濃度とするとき、次のことは成り立つか。
【解】
例３より
また、例２より
したがって、このとき
ゆえに、
は、一般に成立しない。
（解答終）
任意の濃度系
集合系
で表す。
例４
【解】
自然数全体の集合をNとすし、任意のn∈Nに対し
とする。
すると、n≠m∈Nのとき
であり、
したがって、
ここで、
よって、
である。