第１２回 同値関係と同値類、商集合
§１ 二項関係
集合Xについて、直積集合X×Xの各元（a,b）について、満たすか満たさないかが判定できる規則Rが与えられたとき、Rを集合X上の二項関係という。順序対（a,b）が二項関係Rを満たすことをaRbやR(a,b)などで表す。また、直積集合X×Xの部分集合
を二項関係Rのグラフという。
X上の二項関係Rについて、次の４つの性質を主に考察する。
任意のx、y、z∈Xに対して
反射律、対称律、推移律を同時に満足する二項関係を同値関係といい、反射律、推移律、反対称律を満足する二項関係を順序関係という。
問１ 実数全体の集合を
【解】
（１） x≦xだから反射律を満たす。
1≦2のならば2≦1は成立しないので、このとき、対称律を満たさない。
x≦yかつy≦zならばx≦zが成立するので、推移律を満たす。
x≦yかつy≦xならばx=yが成立するので、反対称律を満たす。
よって、
つまり、この関係は順序関係である。
（２） x=yとすると、
よって、反射律を満たす。
xRy、すなわち、(x−y)(x+y−1)=0のとき、
よって、対称律を満たす。
②が成立するのは、y=zまたはy=1−zのとき。
y=zを①に代入すると、
y=1−zを①に代入すると
よって、いずれにせよ、推移律を満たす。
しかし、このとき、2=−1でないので、反対称律は成立しない。
よって、この
この関係は同値関係である。
（解答終）
問１の関係「≦」は、xとyの大小関係、つまり、順序に関する関係。
何故、反射律、推移律、反対称律を満たす関係を順序関係と呼ぶのか、わかってもらえるのではないだろうか。
§２ 同値関係
RをX上の関係とする。任意のx、y、z∈Xに対して
のすべてが成り立つとき、Rは同値関係にあるという。
問２ 次の関係が同値関係であることを示せ。
ここで、
【解】
（１） a−a=0はnの倍数なので反射律を満たす。
a−bがnの倍数であるとき、ある整数ｍがあってa−b=nm。したがって、b−a=−nm=n(−m)となり、b−aは５の倍数。よって、対称律を満たす。
cを整数し、a−bが５の倍数、かつ、b−cが５の倍数とすると、
である整数lとmが存在する。
ゆえに、a−bがnの倍数、かつ、b−cがnの倍数ならば、a−cはnの倍数。よって、推移律を満たす。
したがって、この関係は同値関係である。
（２） f(a)=f(a)だから推移律を満たす。f(a)=f(b)ならばf(b)=f(a)なので対称律を満たす。
cを実数とする。f(a)=f(b)かつf(b)=f(c)ならばf(a)=f(c)なので推移律を満たす。
よって、この関係は同値関係である。
（解答終）
a∈Xに対して
をaのRによる同値類といい、
集合A上の同値関係Rが定義されているとき、任意の元a∈Xの同値類は部分集合である。同値類をすべて集めた集合を、同値関係Rによる商集合といい、記号
定理 RをX上の同値関係とする。このとき、次のことが成り立つ。
この定理から、同値類は共通部分をもたないか、一致するかのいずれか一方である。したがって、同値類全体の集合はXの直和分割を与える。この分割を同値関係RによるXの類別という。
§３ 集合の濃度
A、B、Cを任意の集合とする。
集合の対等に関しては、次のことが成り立つ。
したがって、集合の対等〜は、同値関係。
この同値関係〜による同値類をAの濃度、または、基数と呼び、記号｜A｜で表す。