ワンポイントゼミ ２次曲線の標準化
§１ O-xy座標系を回転させたO-x'y'座標系
O-xy座標系を原点を中心に反時計回りにθ回転させたO-x'y'座標系があるとする。
である。
そして、この
この平面上の点PのO-xy座標系における座標を(x,y)、O-x'y'座標系における座標を(x',y')とすると、
（１）式より
となる。
したがって、
また、（３）から
という関係を得られる。
（３）は、O-x'y'座標系からO-xy座標系への座標変換の式であり、（４）はO-xy座標系からO-x'y'座標系への座標変換の式である。
ところで、(x,y)を原点周りにθ回転させたときの１次変換の式は
（３）と（５）、あるいは（４）と（５）は、非常に似ているので、それだけに要注意である。
§２ ２次曲線の標準化
２次曲線
を、座標変換によって
の形に変形することを２次曲線の標準化という。
さてさて、（６）式は行列を用いると、次のように書き換えることができる。
O-xy座標系を原点を中心にθ回転させた座標系をO-XY座標系とする。
とおくと、
よって、（８）式は
となる。
そして、行列の対角化によって
とできるならば（補足）、
と、２次曲線の標準化を行うことができる。
つまり、これは、行列のAの相異なる固有値α、β、そして、それに対応する固有ベクトルを求めれる、Aの固有値問題になる。
問 ２次曲線x²+xy+y²=1を標準化せよ。
k=3/2のときは、
したがって、固有ベクトルは
である。
k=1/2のとき、
よって、このときの固有ベクトルは
固有ベクトル
を基底とする座標系O=x'y'を設定すると、O-xy座標系の座標との間には、
という関係がある。
――O-x'y'座標系は、O-xy座標系を原点Oを中心に反時計方向にθ=45°させたものになっている――
これをx²+xy+y²=1に代入すると、
よって、x²+xy+y²=1
である。
（解答終）
α=3/2、β=1/2とした時の形にちゃんとなっているだろう。
（補足）