ワンポイントゼミ　行列の対角化


 


２次の正方行列の相異なる固有値をα、β、そして、α、βに対応する固有ベクトルをとする。


固有値と固有ベクトルの定義より、


　　


これを１つの行列であらわすと、


　　


となる。


は相異なるα、βに対応する固有ベクトルなので、互いに一次独立である。


したがって、


　　


とおくと、行列Pの行列式｜P｜≠0であり、Pは逆行列P⁻¹をもつ。


よって、


　　


つまり、


　　


このように行列の固有ベクトルを用いて、対角行列を作ることを行列の対角化という。


 


２次の正方行列について述べたが、Aをn次の正方行列とし、その相異なるn個の固有値を、これに対応する固有ベクトルをとし、


　　


とすると、


　　


と、行列の対角化を行うことができる。


 


また、（１）より、


　　


同様にして、


　　


が成り立ち、


　　


（５）式を用いて、を求めることができる。


 


を求めるだけならば、


　　


同様に、


　　


したがって、


　　


とした方がスッキリしていますが・・・。


 


問題　とするとき、次の問に答えよ。


（１）　Aの固有値、固有ベクトルを求めよ。


（２）　を求めよ。


（３）　次の漸化式で与えられる数列の一般項を求めよ。


　　


【解】


（１）　Aの固有方程式は


　　


k=1に対応する固有ベクトルは


　　


k=5に対応する固有ベクトルは


　　


 


（２）　とおくと、


　　


よって、


　　


 


（３）　この漸化式は行列を用いると、


　　


と表すことができる。


したがって、


　　


よって、


　　


である。


（解答終）


 


行列を用いれば、（３）の連立漸化式の一般項も求められるという話。