曲線座標におけるテンソル
曲線座標
とする。
これを
であらわし、その逆変換を
であらわすことにする。
すると合成関数の微分法より
となる。
ここで、
とおけば、3個の関数の組
と変換されたことになる。このような関数の組
である。
したがって、
ここで、
とおけば、3個の関数の組
と変換されたことになる。このような変換を受ける関数の組
ベクトルと同様に、2次のテンソルも次の3つに分類される。
9個の
のように変換されるとき、反変テンソルという。
9個の
のように変換されるとき、共変テンソルという。
9個の
のように変換されるとき、混合テンソルという。
ところで、
である。
ここで、
である。
したがって、
である。
問 次のことを示せ。
はスカラーである。これを
【解】
したがって、
よって、
はスカラーである。
(解答終)
と内積を定義することができる。