第１９回 ひずみテンソルと応力テンソルの関係
§１ ひずみテンソルと応力テンソルの関係
弾性体が変形し、その相対的な変位がvであるとする。このとき、ひずみテンソルΦの成分は
となる。
等方的な弾性体では、応力テンソルΨとひずみテンソルΦの主軸は同じと考えられるので、ΦとΨの共通な主軸の方向の長さ１のベクトルをa、b、cとする。ひずみテンソルの主値と応力テンソルの主値をそれぞれε₁、ε₂、ε₃、σ₁、σ₂、σ₃としたとき、
という関係が成り立つものとする。
等方的なので、
と考えられので、（１）式を
と変形することができる。
ここで、
とすれば、（２）式は
また、
は不変量で、体積膨張率である。
したがって、
である。
同様に、
つまり、
である。
このλ、μをLamé（ラメ）の定数と呼ぶ。
また、応力テンソルΨは
これに（３）式を代入すると、
単位テンソルをIとすると、
また、
だから、
ひずみテンソルの成分を
となる。
テンソル積と単位テンソルを行列で表すと、
だから、
また、
§２ 弾性体の釣り合い
弾性体内の各点の密度ρに比例した力ρKが単位体積あたりに働いているとする。さらに、弾性体の変形にともなう応力テンソルをΨとする。
弾性体内の任意の領域をVとし、その表面をS、Sの外法線ベクトルをnとする。
このとき、力の釣り合いは
（テンソルの）ガウスの発散定理から
Vは任意に選べるので、
となる。
これが弾性体の釣り合いの方程式である。
Kの成分を
特に、K=0のとき、
つまり、
である。
弾性体が等方的であるとき、
となるので、よって、（６）式は
となる。