材料力学のお話２
このとき、直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルTの成分
となる。
直交座標系O-x₁x₂を原点Oを中心に反時計回りにθ回転させた直交座標をO-x'₁x'₂をとすると、x'₁軸、x'₂軸の方向余弦は
だから、
とおくと、座標系の変換によって応力テンソルの変換式は
となる。
したがって、
になる。
問１ 直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルが
であるとする。
原点を中心に座標軸を反時計回りにθ回転させたたとき、応力テンソルの成分はどのようになるか。
【解】
（解答終）
問２ 直交座標系O-x₁x₂に関する応力テンソルが
であるとする。
原点を中心に座標軸を反時計回りに４５°回転させたたとき、応力テンソルの成分はどのようになるか。
【解】
（解答終）
問２のように、単純せん断応力の場合、軸を４５°回転すると、応力テンソルからせん断応力を消すことができる。
したがって、
θをとれば、
また、主応力は、次のように、行列（テンソル）の固有方程式を解くことによて求めることができる。
よって、主応力をσ₁、σ₂とすると、
となる。
せん断応力
で与えられる。
問３ σ₁₁=2+√2、σ₂₂=2−√2、σ₁₂=√2のとき、主応力とその方向を求めよ。また、最大せん断応力を求めよ。
【解】
（６）より、
また、主応力は（７）より
よって、（８）より最大せん断応力は
である。
（解答終）
O-x₁x₂に対し角度θだけ傾いている（仮想的な）断面に作用する垂直応力σ'とせん断応力τ'は、この断面の垂直なベクトル、すなわち、法線ベクトル（直交座標系O-x'₁x'₂での成分であることに注意！！）
に、（３）〜（５）で与えられる成分
このθを消去すると、
これをモールの応力円という。
となり、これを用いて、主応力、最大せん断応力を求めることもできる。