材料力学のお話
ひずみと応力についての理解を深めるために、材料力学の話をすこしだけすることにする。
このとき、
を垂直ひずみといい、
を引張応力という。
力の向きが図とは逆の場合は、圧縮。
この棒が弾性体の場合、応力が弾性範囲内にあるとき、「応力はひずみに比例する」というフックの法則が成り立つので、
という関係が成立し、この比例定数を縦弾性係数という。
このとき、
をせん断歪ひずみ（工学ひずみ）という。
θ（単位はラディアン）が微小なとき、
と近似できるので、せん断ひずみγは
また、面DCの面積をAとするとき、
をせん断応力といい、弾性範囲内ならば
が成立する。この比例定数Gを横弾性係数（せん断弾性係数、ずれ弾性係数）という。
BCに垂直な方向の力をN、CBに平衡な力をTとすると、
という関係がある。
また、断面BB'の断面積はAだから、断面BCの断面積A'は
しがたって、断面BCに垂直な応力をσ、BCに平行なな応力をτとすると、
ここで、
とおくと、
ということで、せん断応力τが最大になるθは、2θ=90°のときだから、
そして、一般に金属などの材料は、引張や圧縮には強いけれど、横方向の力（せん断力）には弱いものらしい。
したがって、上の棒のように引っ張っていても、斜め４５°ちかくの方向にまず亀裂が発生し、そこから亀裂が走り、破壊するものらしい。
画像元：http://ms-laboratory.jp/strength/4_1/4_1.htm
それはそれとして、（８）、（９）式より、
sin²2θ+cos²2θ=1という関係があるから、
が成立する。