第１７回　ひずみテンソル


 


固体内の１点Pが外力を受けてP'に移動したとする。



とおき、点Pの座標をとすると、vはの関数になる。


また、点Pの近くの点Qの座標をとし、外力を受けて点QがQ'に移動したとする。


　　


とすれば、


　　


だから、点Pに対する点Qの相対的な変位は


　　


となる。


vの成分をとし、２次の項を無視すると、


　　


はテンソルの成分だから、とおくと、（１）式は


　　


テンソルを


　　


と対称テンソル、交代テンソルを用いて


　　


とすると、相対的変位は


　　


となる。


は交代テンソルだから


　　


とおくと、はベクトルの成分となり、これを成分とするベクトルをwとすれば、


　　


よって、（２）式の右辺第１項は変位に伴う純粋な歪をあらわし、第２項はのまわりを回転する起きる変位と考えることができる。したがって、歪は対称テンソルで表されると考えられる。


これを行列で表わせば、


　　


である。


 


は対称テンソル。その主方向を歪の主方向といい、その成分を係数とするテンソル２次曲面


　　


をひずみの２次曲面という。ひずみテンソルの主値をS¹、S²、S³とし、座標軸の方向を主方向にとるとき、ひずみテンソルの成分は


　　


になる。


 


また、ひずみを表すテンソルが対称テンソルであるとき、


　　


であるから、このとき、


　　


となるポテンシャルφが存在する。


このとき、ひずみテンソルの成分は、


　　


となり、このφをひずみポテンシャルという。


 


問　直交座標系O-xyzにおいて、ひずみポテンシャルφが


　　


であるとき、O-xyzに関するひずみテンソルを求めよ。


【解】


　　


したがって、ひずみテンソルは