複素関数の微分の補充問題
f(z)は領域Dで定義されているとする。zがD内の点z₀に近づくとき、
が近づき方に無関係に一つの有限値に近づくならば、この極限値をf(z)のz₀における微分係数といい、
すなわち、
領域Dの全ての点でf(z)が微分可能であるとき、f(z)はDで正則であるという。w=f(z)がDで正則であるとき、
Dの各点zにf'(z)を対応させることにより、Dで定義された関数f'(z)が定まる。この関数を導関数といい、
例
nが正の整数で、
したがって、
問題１ 次の関数はz=0で微分可能か。
【解】
z=x+iyとする。
（１）
直線y=mxにそってzが原点に近づけると、
この極限は直線の傾きmによって変わるのでz=0で微分可能ではない。
（２） f(z)=Re(z)=xとおき、z≠0とすると、
y=mxにそって原点に近づけると、
したがって、z=0で微分可能ではない。
（解答終）
定理（コーシー・リーマンの関係式）
このとき、
問題２ 次の関数の微分可能性を調べよ。
【解】
u,yの偏導関数は連続だから、すべての(x,y)で全微分可能。また、(x,y)=(0,0)のとき
だから、f(z)はz=0で微分可能。
(x,y)≠(0,0)では、
なので、f(z)はz≠0で微分可能でない。
（解答終）
問 コーシー・リーマンの関係式を用いて、問題１の関数の微分可能性を調べよ。
問題３ 指数関数
の導関数が
【解】
したがって、
よって、
したがって、u、vの偏導関数は(x,y)の全点で連続で全微分可能。
また、
となりコーシー・リーマンの関係を満たす。
したがって、
（解答終）
問題４ 関数f(z)が領域Dで正則で、次の条件のいずれかを見たぜばf(z)はDで定数であることを示せ。
【解】
（ⅰ）
よって、uとvはDで定数。したがって、f(z)はDで定数である。
（ⅱ）
（ⅲ）
したがって、
コーシー・リーマンの関係
したがって、
u²+v²=0のとき、u=v=0。
いずれの場合も、uとvは定数となり、したがって、f(z)はDで定数である。
（解答終）