第６０回 ルーシェの定理の応用
前回紹介したルーシェの定理
定理（Rouchéの定理）
f(z)、g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で
ならば、f(z)、g(z)はCの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。
は、たぶん、問題を解くときには、使いづらいと思うので、別表現のルーシェの定理を紹介する。
定理（Rouchéの定理）
f(z)、g(z)が単一閉曲線で囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で
ならば、f(z)とf(z)+g(z)はCの内部で同一個数の零点をもつ。
z³+3z+1=0の｜z｝<2の解の個数について考えることにする。
f(z)=z³、g(z)=3z+1とすると、閉曲線｜z｜=2（原点を中心とする半径２の円）上で
したがって、ルーシェの定理より、f(z)+g(z)=z³+3z+1とf(z)=z³は｜z｜<2で同じ個数の零点をもつ。
｜z｜<2におけるf(z)=z³の零点、つまり、f(z)=z³=0となる点はz=0でこれは３位の零点である。だから、
｜z｜<2におけるf(z)+g(z)=z³+3z+1の零点は３個、つまり、z³+3z+1=0の解の個数は３娘である。
また、｜z｜<1のとき、｜z｜=1上で
したがって、f(z)+g(z)=z³+3z+1とg(z)=3z+1は｜z｜<1で同じ個数の零点をもつ。g(z)=3z+1の零点、つまり、g(z)=3z+1=0の点は
ちなみに、
複素数解を含めると
ここで、ωは
問題 ５次方程式
【解】
したがって、ルーシェの定理より、｜z｜<2における
よって、
（解答終）