第５９回 偏角の原理

第５９回　偏角の原理

 

定理（偏角の原理）

関数f(z)は単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則で零点をもたないとする。f(z)はCの内部に極、零点をもつとし、をの位数、をとすると、

　　

【証明】

の１つの分枝を考えると、

　　

となるので、

　　

ここで、

　　

とすると、はC上を１周しても値は変わらないので、の変化量は、と等しい。

よって、

　　

f(z)がαをs次の極としてもつとき、αの近くで

　　

とあらわせるので、

　　

はαで正則だから、αはの１次の極で

　　

同様に、βはの１次の極で

　　

となる。

Cの内部にあるの極は、であるから、留数定理より

　　　

（証明終）

 

偏角の原理より、C上を反時計回りに１回転させると、w=f(z)はw平面上で１つの閉曲線をえがくことになり、

　　

と書き直せる。この式の右辺はw平面上の閉曲線Γのz=0まわりの回転数をあらわす。

 

定理（Rouchéの定理）

f(z)、g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

ならば、f(z)、g(z)はCの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。

【証明】

Cの内部にあるf(z)、g(z)の零点の個数をとする。仮定よりf(z)、f'(z)はC上に零点をもたないので、偏角の原理より

　　

よって、

　　

したがって、とおくと、仮定よりC上で｜w｜<1。

このとき、1+wは、zがC上を１周すると、w=1を中心とする半径１の内部で閉曲線Γをえがくことになり、w=0のまわりの回転数は０になる。

したがって、

　　

（証明終）

 

 

偏角の原理の応用として、次に、代数学の基本定理の証明を与える。

 

定理　（代数学の基本定理）

複素数を係数とするn次の代数方程式

　　

はn個の根をもつ。

【証明】

十分大きな正の数Rをとると、｜z｜<Rで

　　

Cを｜z｜=Rとし、

　　

とおき、 これに対してRouché（ルーシェ）の定理を用いると、f(z)はn個の零点をもつので、g(z)もn個の零点をもつことになり、定理は証明された。

（証明終）