複素関数と１次変換


 


複素平面上の点集合Sの各点zに１つの複素数wが対応するとき、wをzの複素関数といい、w=f(z)で表す。このとき、zを独立変数、wを従属変数といい、Sをこの関数の定義域という。また、zとwのそれぞれの実部、虚部を分けてと書くと、w=f(z)は、実変数x,yの２つの実変数関数が与えられることと同等である。


 


関数w=f(z)が与えられたとき、変数zの値を表す複素平面をz平面、変数wの値を表す複素平面をw平面という。このとき、この関数は定義域Sに含まれるz平面上の点集合S’をw平面上の点集合へうつす写像と考えられ、をによるS'の像という。


 


a、b、c、dを複素数の定数とするとき、


　　


の形の有理関数を１次関数という。これによって与えられたz平面からw平面への写像を１次変換という。


 


１次変換は、


c≠0のとき


　　


c=0のとき


　　


と変形されるから、１次変換は次の３つのタイプの１次変換の合成写像。


ⅰ）　w=z+α　（平行移動）


ⅱ）　w=αz　（原点まわりの回転と相似変換の合成写像）


ⅲ）　 （単位円｜z｜=1に対する反転と実軸に対する対称変換の合成写像）


とすると、


　　


だから、点zの写像と同じ複素平面上に求めるには、原点Oと点zを結ぶ半直線上にとなる点z₁をとり、実軸に関するz₁の対称点をとればよい（補足参照）。


したがって、z平面の原点を中心とする半径ρの円｜z｜=ρは、w平面上の原点を中心とする円｜w｜=1/ρにうつされ、また、z平面上の原点を通り実軸と角φをなす半直線arg z=φは、w平面上の半直線arg w=−φに写される。


 


問　w=1/zにより、z平面の直線x=cとy=c（c≠0）はそれぞれw平面上のどのような点にうつされるか。


【略解】


z平面上の直線x=c上の点を(c,t)とし、w=1/zによってうつされるw上の点をz=u+ivとすると、


　　


tを消去すると、


　　


したがって、x=cは、実軸上の点を中心とする半径に円うつされる。


同様に、y=cは、虚軸上の点を中心とする半径の円にうつされる。


（解答終）


 


問の結果から、一次変換w=1/zによって、原点を通らない直線は原点を通る円に、逆に原点を通る円は原点を通らない直線にうつされることになる。


 


 【補足】


複素平面上の点zを極形式で表すと


　　


したがって、


　　


また、このことから、原点を中心とする半径ρ>0の円｜z｜=ρは、１次変換によって


　　


つまり、原点を中心とする半径1/ρの円にうつされることがわかる。