正則関数による写像

正則関数による写像

 

領域Dで定義された関数w=f(z)により、D内の曲線

　　

は、一般に、ｗ平面の曲線

　　

にうつされる。

特に、fがDで正則で、Cが滑らかな曲線ならばfによるCの像であるΓも滑らかな曲線になる。

C₁、C₂をz₀を通る滑らかな曲線とし、Γ₁、Γ₂をw=f(z)によるそれぞれの像とする。z₀におけるC₁、C₂の接線のなす角がw₀=f(z₀)におけるΓ₁、Γ₂の接線のなす角に向きを含めて等しいとき、w=f(z)はz₀において等角写像という。

 

定理

w=f(z)がz₀において微分可能、かつ、とする。このとき、w=f(z)はz₀において等角写像である。

【証明】

点z₀をとおる２つの滑らかな曲線をC₁、C₂とし、とする。

　　

とおくと、仮定よりf(z)は微分可能だから

　　

である。

また、だからz₁をz₀の十分近くにとるととすることができるので、

　　　　

これより

　　

偏角をとって

　　

一方、

　　

だから、

　　

（証明終了）

 

したがって、のときはz₀において必ずしも等角写像ではない。

 

例　とすると、n=1のときはz平面の全点で等角、n≧2のときはz=0以外で等角である。

なぜならば、n=1のとき、つまり、f(z)=zのとき、

　　

であり、n≧2のとき

　　

となり、z=0のときにf'(0)=0になるから。

たとえば、n=2のとき、原点を通る直線はw平面上の直線にうつされ、実軸となす角度がcから2cに変わる。

 

だけれども、定理より、w=f(z)が正則な関数であれば、となる点z₀以外での等角性は保証されるので、fが定数関数でなければ、ほとんどの点で等角写像である。

 

問１　次の場合について、w=f(z)による写像が等角でないようなz平面上の点を求めよ。

【解】

（１）　とおくと、。

よって、
　　

 

（２）　とおくと、

　　

したがって、f'(z)=0は

　　

よって、z=±1。

（解答終）

 

問２　

　　

による円｜z｜=cの像を求めよ。

【解】

　　

おとくと、

　　

よって、｜z｜=r=c=1のとき、

　　

0≦θ<2πの範囲でθを変化させると、−1≦u≦1となりり、w平面の実軸上の｜u｜≦1の線分にうつる。

z≠1のとき、r=cとおくと、①より

　　

また、cos²θ+sin²θ=1だから、

　　

の楕円にうつる。

（解答終）